Modelli macroscopici di traffico veicolare [Seconda parte]

Nel 1960 un modello alternativo, basato sulla cinetica dei gas, fu proposto da Prigogine. In questo modello venne studiata l’evoluzione temporale della distribuzione di velocità, sottolineando l’importanza degli effetti di collisione, principali responsabili della diminuzione della velocità media e di quelli di aggiustamento, che coinvolgono la riduzione della dispersione della distribuzione di velocità.
Questo lavoro, noto come modello di traffico Boltzmann-like, fu ampliato nel 1979 da Phillips che, introdusse una variabile chiamata pressione di traffico ({P(x,t)}), ottenendo così l’equazione della velocità

\displaystyle \frac{\partial V}{\partial t}+V\frac{\partial V}{\partial x}= -\frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{1}{\tau(\rho)}[V_{e}(\rho)-V]

dove vi è una dipendenza del tempo di rilassamento dalla densità ({\tau(\rho)}).
Whitham poi, nel 1974, generalizzò la teoria LWR (alla quale aveva dato il suo contributo in precedenza), tramite l’utilizzo del modello di Phillips, del quale però non menzionò alcuni problemi, come il decremento della pressione di traffico.
Nel 1984 K\”{u}hne aggiunse poi un termine di viscosità ({\nu\frac{\partial^{2}V}{\partial x^{2}}}) alla precedente equazione, che ebbe un effetto simile a quello di diffusione nell’equazione di Burgers. Dopo circa dieci anni, nel 1993, Kerner e Konh\”{a}user modificò il termine di viscosità in {\frac{\eta}{\rho}\frac{\partial^{2}V}{\partial x^{2}}} ottenendo così l’equazione della velocità

\displaystyle \frac{\partial V}{\partial t}+V\frac{\partial V}{\partial x}= -\frac{\theta_{0}}{\rho}\frac{\partial \rho}{\partial x}+\frac{\eta}{\rho}\frac{\partial^{2}V}{\partial x^{2}}+\frac{V_{e}(\rho)-V}{\tau}

Nel 1995 Weidlich ed Hilliges presentarono un modello di tipo discreto, simile a quello avanzato 1994 da Daganzo. Questo modello è basato sulla divisione della strada in celle j di eguale lunghezza {\Delta x}. I guidatori dei veicoli presenti in una determinata cella j adatteranno la propria velocità valutando quella della cella successiva (j+1). Ciò portò all’aggiunta di una costante didiffusione {D=\frac{V_{0}\Delta x}{2}} alla relazione lineare fra velocità e densità, equivalentemente a quanto era stato prima discusso circa l’equazione di Burgers. Si giunse così a

\displaystyle \frac{\partial \hat{V}(j,t)}{\partial t}+\hat{V}(j,t)\frac{\hat{V}(j+1,t)-\hat{V}(j-1,t)}{2\Delta x}=\frac{V_{e}(\hat{\rho}(j,t))-\hat{V}(j,t)}{\tau}

che prese appunto il nome di equazione dinamica della velocità di Weidlich-Hilliges.
I modelli citati in questa introduzione sono fra loro strettamente correlati , infatti possono essere considerati come casi particolari della più generale equazione di densità

\displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t}+V\frac{\partial \rho}{\partial x}=-\rho\frac{\partial V}{\partial x}+D(\rho)\frac{\partial^{2} \rho}{\partial x^{2}}+\xi_{1}(x,t)

e della equazione della velocità

\displaystyle \frac{\partial V}{\partial t}+V\frac{\partial V}{\partial x}=-\frac{1}{\rho}\frac{dP}{d\rho}\frac{\partial \rho}{\partial x}+\nu\frac{\partial^{2}V}{\partial x^{2}}+\frac{1}{\tau}(V_{e}-V)+\xi_{2}(x,t).

La differenza fra le varie equazioni sta nella dichiarazione (chiaramente alcuni parametri potrebbero essere posti uguali a zero) del coefficiente di diffusione D({\rho}), delle fluttuazioni {\xi_{1}(x,t),\xi_{2}(x,t)}, della pressione di traffico P({\rho}), della viscosità {\nu(\rho)}, del tempo di rilassamento {\tau(\rho)} e della velocità di equilibrio {V_{e}(\rho)}.
Quindi tutte le equazioni che trattano modelli macroscopici di traffico veicolare possono essere ricavate opportunamente dalle due precedenti.

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Informazioni su Matteo Galli

Vivo a Rimini dal 1983, anno della mia nascita.
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