Modelli macroscopici di traffico veicolare [Prima parte]

L’interesse per problemi di flusso di traffico nacque nel XX secolo e la prima pubblicazione in questo campo si ebbe nel 1935 ad opera di Greenshields. Negli anni cinquanta vi fu un grande sviluppo nello studio del traffico veicolare, sottolineato da importanti pubblicazioni, che si basavano tutte sulla relazione fra dinamica del flusso di traffico e modelli matematici capaci di descriverlo tramite parametri fondamentali, fra cui il principale era sicuramente la densità dei veicoli. La principale pubblicazione di questi anni fu quella di Lighthill e Whitham che uscì nel 1955 in cui il problema del  flusso di traffico, prima lungo strade rettilinee senza incroci, poi con incroci controllati da semafori, veniva analizzato mediante onde cinematiche .

Nell’anno seguente anche Richard pubblicò un lavoro su questo problema, portando così alla nascita la teoria LWR (dai nomi dei tre ricercatori), basata sulla considerazione che i veicoli all’interno del flusso di traffico possono essere trattati come particelle in un fluido e quindi, studiati mediante l’uso dei modelli dell’idrodinamica, in cui si usano equazioni differenziali iperboliche alle derivate parziali. L’equazione d’onda non-lineare introdotta da Lighthill e Whitham che meglio descrive la propagazione di onde cinematiche con velocità {C ( \rho )} è

\displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t}+C(\rho)\frac{\partial \rho}{\partial x}=0

Il modello LWR è alla base dell’elaborazione della teoria delle onde di shock ma, lo sviluppo di questa, è difficile da indagare tramite la risoluzione numerica del LWR. Per seguire lo sviluppo della teoria delle onde d’urto si è dovuto inserire un termine di diffusione ( {\frac{\partial}{\partial x}(D\frac{\partial \rho}{\partial x})} ) all’equazione introdotta da Lighthill e Whitham, ottenendo, tramite alcune considerazioni analitiche

\displaystyle \frac{\partial C(x,t)}{\partial t}+C(x,t)\frac{\partial C(x,t)}{\partial x}=D\frac{\partial^{2} C(x,t)}{\partial x^{2}}

detta equazione di Burgers.

Payne nel 1971 introdusse un termine di convezione ed un nuovo coefficiente di diffusione  {D(\rho)}, non costante come per Burgers, ma dipendente dalla densità. Ciò portò all’aggiunta, all’equazione precedentemente presentata come di Burgers, di un termine di convezione ( {V\frac{\partial V}{\partial x}} ), di uno di anticipazione ( {-\frac{D(\rho)}{\rho \Delta t}\frac{\partial \rho}{\partial x}} ), che riflette la risposta dei guidatori alla situazione del traffico davanti a loro e di uno di rilassamento ({\frac{V_{e}(\rho)-V}{\Delta t}}) , che descrive l’adattamento (di tipo esponenziale con tempo di rilassamento {\Delta t} ) della velocità media {V(x,t)} alla velocità di equilibrio dipendente dalla densità {V_{e}(\rho)} . L’equazione della velocità così ottenuta

\displaystyle \frac{\partial V}{\partial t}+V\frac{\partial V}{\partial x}=\frac{1}{\Delta t}[V_{e}(\rho)-\frac{D(\rho)}{\rho}\frac{\partial \rho}{\partial x}-V]

prende il nome di equazione di Payne.

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Informazioni su Matteo Galli

Vivo a Rimini dal 1983, anno della mia nascita.
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